Группа (математика)
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.
Содержание
[убрать]

1 Определения
1.1 Комментарии
1.2 Связанные определения
2 Примеры
3 Стандартные обозначения
3.1 Мультипликативная запись
3.2 Аддитивная запись
4 Простейшие свойства
5 Способы задания группы
6 История
7 Обобщения
8 См. также
9 Примечания
10 Литература
10.1 Популярная литература
10.2 Научная литература

Гру́ппа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.
[править] Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией \,*\,\colon G \times G \to G называется группой (G, * ), если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: \forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c);
наличие нейтрального элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
наличие обратного элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)

[править] Комментарии

Элемент a - 1, обратный элементу a, единственен.
В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G): (a*x=b)\and (y*a=b).

||
Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l*a=a\,) и левого обратного (a_l^{-1}*a=e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a - 1:

a_l^{-1}*a*a_l^{-1}=e_l*a_l^{-1}=a_l^{-1} \Rightarrow e_l*a*a_l^{-1}=e_l \Rightarrow a*a_l^{-1}=e_l
a*e_l=a*a_l^{-1}*a=e_l*a=a\,

[править] Связанные определения

Основная статья: Словарь терминов теории групп

В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
Пары элементов a,\;b, для которых выполнено равенство a * b = b * a, называются перестановочными или коммутирующими.
Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
Порядок группы (G, * ) — мощность G (т. е. число её элементов).
Если множество G конечно, то группа называется конечной.

[править] Примеры

Целые числа с операцией сложения. (\Z,+) группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.

Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

Свободная группа с двумя образующими (F2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем \varepsilon (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a,a − 1,b и b - 1 таких, что a не появляется рядом с a - 1 и b не появляется рядом с b - 1. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa − 1,a − 1a,bb − 1 и b − 1b.

Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

Циклические группы состоят из степеней \langle a\rangle = \{a^n \,| \,n \in \mathbb{Z}\} одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

[править] Стандартные обозначения
[править] Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

результат операции называют произведением и записывают a * b или ab;
нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
обратный к a элемент записывается как a - 1.

Кратные произведения aa, aaa,\dots записывают в виде натуральных степеней a^2, a^3,\dots[1]. Для элемента a корректно[2] определена целая степень, следующим образом:

a0 = e,
a − n = (a − 1)n.

Для степени элемента справедливо a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb Z. В частности, e^n=e, \forall n\in\mathbb Z.
[править] Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …

[править] Простейшие свойства

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
(a−1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
(ab)−1 = b−1a−1.
Верны законы сокращения:

c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b,
a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b.

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

[править] Способы задания группы

Группу можно задать:

С помощью порождающих и соотношений.
Факторгруппой G/H, где G — некоторая группа и H — её нормальная подгруппа. В частности, каждая группа является факторгруппой свободной группы порождающего множества этой группы по подгруппе соотношений группы.
Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
Прямым произведением двух групп (G,·) и (H,•), то есть множеством G×H пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1•h2).
Свободным произведением двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих G и H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением \Z_2 и \Z_3.

[править] История

Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле.

Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.
[править] Обобщения

Группоид — магма.
Полугруппа
Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
Квазигруппа

[править] См. также

Алгебраические структуры
Словарь терминов теории групп
Группа многогранника
Группа Клейна

[править] Примечания

↑ Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
↑ Корректность вытекает из единственности обратного элемента.

[править] Литература