Теория графов
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V×V.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.
Содержание
[убрать]

1 История возникновения теории графов
2 Терминология теории графов
3 Изображение графов на плоскости
4 Некоторые задачи теории графов
5 Применение теории графов
6 Литература
7 Примечания
8 См. также
9 Ссылки

||
[править] История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.
[править] Терминология теории графов

Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано: «В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов „граф“ или „сеть“. Мы выбрали термин „сеть“, так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях». Аналогичная ситуация для «вершина/точка»
[править] Изображение графов на плоскости

При изображении графов чаще всего используется следующая система обозначений: каждой вершине сопоставляется точка на плоскости, и если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки соединяются отрезком. В случае ориентированного графа отрезки заменяют стрелками.

Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие — нет. Часто на практике бывает трудно ответить на вопрос, являются ли два изображения моделями одного и того же графа или нет. В зависимости от задачи, одни изображения могут давать более наглядную картину, чем другие.
[править] Некоторые задачи теории графов

Проблема семи мостов Кёнигсберга — один из первых результатов в теории графов, опубликован Эйлером в 1736.
Проблема четырёх красок — была сформулирована в 1852 году, но неклассическое доказательство получено лишь в 1976 году (достаточно 4-х красок для карты на сфере (плоскости).
Задача коммивояжёра — одна из наиболее известных NP-полных задач.
Задача о клике — ещё одна NP-полная задача.
Нахождение минимального стягивающего (остовного) дерева.
Изоморфизм графов — можно ли путем перенумерации вершин одного графа получить другой.
Планарность графа — можно ли изобразить граф на плоскости без пересечений ребер (или с минимальным числом слоев, что находит применение при трассировке межсоединений элементов печатных плат или микросхем).

К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решенных на сегодняшний день.
[править] Применение теории графов

В химии (для описания структур, путей сложных реакций[1], правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров у углеводородов и других органических соединений.
В информатике и программировании (граф-схема алгоритма)
В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете.
В экономике
В логистике
В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф) [2].

[править] Литература

Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974. 368c.
Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. — М.: Высш. школа, 1976. — С. 392.
Берж К. Теория графов и ее приложения. М.: ИЛ, 1962. 320c.
Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: «Вузовская книга», 2004. — С. 664. — ISBN 5-9502-0057-8(М.: Наука, 1987. 383c.)

Химические приложения топологии и теории графов. Под ред. Р. Кинга. Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. 168 c. http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf

Кристофидес Н.Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 429c.

Кормен Т. Х. и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд.. — М.: Вильямс, 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
Оре О. Теория графов. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1980. — С. 336.
Салий В. Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9

Свами М., Тхулалираман К. Графы, сети и алгоритмы. М: Мир, 1984. 455с.

Татт У. Теория графов. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 424 с.

Уилсон Р. Введение в теорию графов. Пер с англ. М.: Мир, 1977. 208с.

Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)

Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — Мир, 1977.

Diestel R. Graph Theory, Electronic Edition. — NY: Springer-Verlag, 2005. — С. 422.

[править] Примечания

↑ Г. С. Яблонский, В. И. Быков, А. Н. Горбань, Кинетические модели каталитических реакций, Новосибирск: Наука (Сиб. отделение), 1983.- 255 c.
↑ Курейчик В. М., Глушань В. М., Щербаков Л. И. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР. М.: Радио и связь, 1990. 216 с.